El cálculo infinitesimal

Conflicto entre Newton y Leibniz

La suspicacias entre Newton y Leibniz y sus respectivos seguidores ,primero sobre quien habia descubierto primero el calculo y, despues, si uno habia copiado al otro,acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargo los ultimos años de ambos genios.Para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues los metodos de ambos tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la genesis independiente de los mismos.

Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto basandose su calculo diferencial en la medida de la variacion de la misma-de su fluir-mientras que leibniz consideraba una curva conformada por segementos de longitud infitesimal cuya prolongacion generaba la tangente en cada punto de cuya geometria se obtiene la correspondiente relacion entre las diferenciales.incluso la fundamentacion de ambos es distinta.
Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de limite,el de Leibniz tuvo que esperar hasta la decada de 1960-1970 hasta la aparicion del analisis no estandar de Abrahan Robinson.La polemica en custion se fraguo a finales del siglo XVII.El otro conflicto consistio en determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos ,la historia es como sigue.
En junio de 1696 de las actas Eroditorum, Juan Bernoulli lanzo un reto a los mejores matematicos del mundo.En realidad era un reto encubierto a Newton.
Al cabo del año el plazo original fue de seies meses pero a peticion de Leibniz se almplio para que tuvieran tiempo los matematicos franceses e italianos que se habian enterado tarde.Aprecieron cinco soluciones:Una de leibniz, una del mismo Juan Bernulli,otra de su hermano Jacobo,una del conde Walter de Tschirnahaus,del Marquez de L'Hospital y una anonima.Todas excepto la de L'Hospital daban con la solucion: la cicloide ¿quien era ese autor anonimo que escogio las philosophical transactions para publicar su genial solucion que solo contenia 67 palabras?
Un vistazo a la solucion fue suficiente para Juan Bernulli exclamara "tanquam ex ungue leonen" ,algo asi como <<ireconozco al leon por sus garras!>> pues claro esta que era Newton.Años mas tarde se aclaro la historia.como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matematicos ingleses y a Newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polemica sobre la prioridad para ver si el calculo de Newton era tan bueno y poderoso para resolverlo.Ademas en una carta de leibniz a Bernulli este conjetura solo quien conozca el calculo podra resolverlo-Newton entre ellos claro esta-.Incluso años despues , ya en plena polemica,Leibniz en una reseña a la solucion del problema afirmaba que en el problema no podia ser resuelto sin la ayuda de su recien inventado metodo que solo aquellos que habian profundizado en su estudio podian resolverlo:estos eran los Bernulli,L'Hospital y Newton.
Como no podia ser de otra forma el reto llego a Newton aunque por aquel entonces ya no <<hacia ciencia>> sino que trabaja en la casa de la moneda inglesa .Segun cuenta la sobrina de newton ya habia pensado en ese problema unos años antes y casi seguro lo habia resuelto por lo que solo tuvo que refrescar la memoria ese dia.Nuevamente aparece la misma pregunta:si Newton ya habia resuelto el problema ¿porque no lo publico?

Descubrimientos de Leibniz

SUS APORTACIONES Y DESCUBRIMIENTOS:
 -Inventó el cálculo infinitesimal
 - Descubrió que todo número puede expresarse mediante una serie formada por ceros y unos
 - Se le debe la difusión del punto en la multiplicación
 -Obtuvo series del arco tangente circular e hiperbólico mediante el cálculo de los sectores elípticos e hiperbólicos desarrollados en serie
 -Trabajó los números complejos, pero no entendió nunca su naturaleza
 - Ofreció varios argumentos para demostrar que los logaritmos de los números negativos no existen.
 - Descubrió la relación inversa entre métodos de trazado de tangentes (diferenciación) y las cuadraturas (integración)
 - Generalizó el concepto de diferencial al caso de exponente negativo y fraccionario
 - Introdujo la ecuación de la catenari a
 - Resolvió ecuaciones de primer orden
 - Perfeccionó el simbolismo combinatorio con ayuda del sistema de índices
 - Encontró una expresión en serie para p
 - Se le debe el primer criterio para establecer la convergencia de una serie
 - Obtuvo la formula de los coeficientes multinomiales aunque no la publicó
 - Se le debe la expresión de "cantidades trascendentes"
 - Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral
 - Usó números infinitamente grandes como si fueran números ordinarios
 - Utilizó el término "imaginario" para los números complejos
 - Estableció las primeras bases de la lógica simbólica
 - Introdujo la combinatoria como disciplina matemática.
 - Generalizó el teorema binomial y multinomial
 - Primera referencia en Occidente de los determinantes.
 - Demostra el "pequeño teorema de Fermat".
 - Se le considera el iniciador del cálculo geométrico y de la topología.

Los límites son el mayor descubirmiento matemático de Newton y Leibiniz

HISTORIA DE LOS LÍMITES MATEMÁTICOS

Los antiguos griegos utilizaban procedimientos basados en límites para calcular áreas, como el área del círculo , utilizando el <<>>.consistía en cubrir o ( agotar) una región de forma tan completa como fuera posible utilizando triángulos. sumando las áreas de los triángulos se tenía una aproximación al área de la región de interés. Newton y Leibniz, los inventores del cálculo . sin embargo. no dieron una definición rigurosa del procedimiento.El matemático francés Augustine-louis cauchy(1789-1857) fue el primero en desarrollar una definición rigurosa de límite. la definición que usaremos aquí se remonta al matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897)

IMPORTANCIA DE LOS LÍMITES MATEMÁTICOS
Los límites son importantes por que nos ayudan a resolver eficazmente los problemas que se nos presentan en un ejercicio de un tema determinado.
cada límite no puede dar una solución diferente, por ejemplo en un ejercicio que resolvamos podriamos conseguir con que podria ser una función indeterminada, la cual es cuando el resultado obtenido es igual a cero sobre cero 0/0.
como también podemos encontrar funciones que si tengan soluciones o funciones determinadas, es decir nos ayuda a encontrarle alguna solucion posible a una función.

CONCEPTO DE LÍMITE MATEMÁTICO
El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesiòn  o una funciòn, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En càlculo analisís real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros

Descubrimientos de Newton

Teorema del binomio

El teorema del binomio, descubierto hacia 1664-1665, fue comunicado por primera vez en dos cartas dirigidas en 1676 a Henry Oldenburg (hacia 1615-1677), secretario de la Royal Society que favorecía los intercambios de correspondencia entre los científicos de su época. En la primera carta, fechada el 13 de junio de 1676, en respuesta a una petición de Leibniz que quería conocer los trabajos de matemáticos ingleses sobre series infinitas, Newton presenta el enunciado de su teorema y un ejemplo que lo ilustra, y menciona ejemplos conocidos en los cuales se aplica el teorema. Leibniz responde, en una carta fechada el 17 de agosto del mismo año, que está en posesión de un método general que le permite obtener diferentes resultados sobre las cuadraturas, las series, etc., y menciona algunos de sus resultados. Interesado por las investigaciones de Leibniz, Newton le responde también con una carta fechada el 24 de octubre en la que explica en detalle cómo ha descubierto la serie binómica. Aplicando los métodos de Wallis de interpolación y extrapolación a nuevos problemas, Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una expresión polinómica se transformaba en una serie infinita. Así estuvo en condiciones de demostrar que un buen número de series ya existentes eran casos particulares, bien directamente, bien por diferenciación o integración. El descubrimiento de la generalización de la serie binómica es un resultado importante de por sí; sin embargo, a partir de este descubrimiento Newton tuvo la intuición de que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas finitas. El análisis mediante las series infinitas parecía posible, porque ahora resultaban ser una forma equivalente para expresar las funciones que representaban. Newton no publicó nunca el teorema del binomio. Lo hizo Wallis por primera vez en 1685 en su Algebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

Leyes del movimiento de Newton

Las leyes del movimiento tienen un interés especial aquí; tanto el movimiento orbital como la ley del movimiento de los cohetes se basan en ellas. Newton planteó que todos los movimientos se atienen a tres leyes principales formuladas en términos matemáticos y que implican conceptos que es necesario primero definir con rigor. Un concepto es la fuerza, causa del movimiento; otro es la masa, la medición de la cantidad de materia puesta en movimiento; los dos son denominados habitualmente por las letras F y m. "Las tres leyes del movimiento de Newton" se enuncian abajo en palabras modernas: como hemos visto todas necesitan un poco de explicación.
En ausencia de fuerzas, un objeto ("cuerpo") en descanso seguirá en descanso, y un cuerpo moviéndose a una velocidad constante en línea recta, lo continuará haciendo indefinidamente.
Cuando se aplica una fuerza a un objeto, se acelera. La aceleración es en dirección a la fuerza y proporcional a su intensidad y es inversamente proporcional a la masa que se mueve:
a = k(F/m)
donde k es algún número, dependiendo de las unidades en que se midan F, m y a. Con unidades correctas (volveremos a ver esto), k = 1 dando
a = F/m
ó en la forma en que se encuentra normalmente en los libros de texto
F = m a
De forma más precisa, deberíamos escribir
F = ma
siendo F y a vectores en la misma dirección (indicados aquí en negrita, aunque esta convención no se sigue siempre en este sitio web). No obstante, cuando se sobreentiende una dirección única, se puede usar la forma simple.
"La ley de la reacción" enunciada algunas veces como que "para cada acción existe una reacción igual y opuesta". En términos más explícitos: "Las fuerzas son siempre producidas en pares, con direcciones opuestas y magnitudes iguales. Si el cuerpo nº 1 actúa con una fuerza F sobre el cuerpo nº 2, entonces el cuerpo nº 2 actúa sobre el cuerpo nº 1 con una fuerza de igual intensidad y dirección opuesta."

Primera Ley del movimiento de Newton

El primer ejemplo de movimiento y, probablemente, el único tipo que se podía describir matemáticamente antes de Newton, es el de la caída de objetos. No obstante existen otros movimientos, de manera especial movimientos horizontales, en los que la gravedad no juega un papel principal. Newton se aplicó también a ellos. Considere un disco de hockey deslizándose sobre la superficie helada. Puede viajar grandes distancias y cuanto más liso sea el hielo, más allá irá. Newton observó que, a fin de cuentas, lo que para estos movimientos es importante es la fricción sobre la superficie. Si se pudiera producir un hielo ideal completamente liso, sin fricción, el disco continuaría indefinidamente en la misma dirección y con la misma velocidad . Este es el quid de la primera ley: "el movimiento en línea recta a velocidad constante no requiere ninguna fuerza". Sumar este movimiento a cualquier otro no trae ninguna nueva fuerza en juego, todo queda igual: en la cabina de un avión moviéndose en línea recta a la velocidad constante de 600 mph, nada cambia, el café sale de la misma forma y la cuchara continua cayendo en línea recta.

Tercera Ley del movimiento de Newton

La tercera ley, la ley de reacción, afirma que las fuerzas nunca ocurren de forma individual, sino en pares iguales y opuestos. Siempre que una pistola dispara una bala, da un culatazo. Los bomberos que apuntan al fuego con la tobera de una manguera gruesa deben agarrarla firmemente, ya que cuando el chorro de agua sale de ella, la manguera retrocede fuertemente (los aspersores de jardín funcionan por el mismo principio). De forma similar, el movimiento hacia adelante de un cohete se debe a la reacción del rápido chorro a presión de gas caliente que sale de su parte posterior.  Los que están familiarizados con los botes pequeños saben que antes de saltar desde el bote a tierra, es más acertado amarrar el bote antes al muelle. Si no, en cuando haya saltado, el bote, "mágicamente", se mueve fuera del muelle, haciendo que, muy probablemente, pierda su brinco y empuje al bote fuera de su alcance. Todo está en la 3ª ley de Newton: Cuando sus piernas impulsan su cuerpo hacia el muelle, también se aplica al bote una fuerza igual y de sentido contrario, que lo empuja fuera del muelle.
Una máquina es un instrumento que transforma las fuerzas que sobre ella se aplican a fin de disminuir el esfuerzo necesario para llevar a cabo una tarea. Dependiendo de la complejidad, las máquinas se clasifican en:

Máquinas simples son aquellas que sólo tienen un punto de apoyo. Las principales son: la palanca, la polea, el plano inclinado, la cuña y el tornillo.

Máquinas compuestas son aquellas que están formadas por dos o más máquinas simples. Por ejemplo: la bicicleta, la grúa, el motor.

Las máquinas están constituidas por elementos mecánicos que se agrupan formando mecanismos, cada uno de los cuales realiza una función concreta dentro de la máquina.

Los mecanismos se pueden describir partiendo del tipo de movimiento que originan. Así, podemos distinguir cuatro tipos:

* Movimiento lineal: El movimiento en línea recta o en una sola dirección

* Movimiento alternativo: El movimiento adelante y atrás a lo largo de una recta se llama movimiento alternativo

* Movimiento de rotación: El movimiento circular se llama movimiento de rotación

* Movimiento oscilante: El movimiento hacia delante y hacia atrás formando un arco (o parte de un círculo

El método de las fluxiones

Se franquea una segunda etapa en el momento en que Newton acaba, en 1671, su obra Methodus fluxionum et serierum infiniturum, comenzada en 1664. Newton tenía intención de publicarla, en particular en su Opticks, pero a causa de las críticas formuladas anteriormente con respecto a sus principios sobre la naturaleza de la luz, decidió no hacerlo. De hecho, será publicada en 1736 en edición inglesa, y no será publicada en versión original hasta 1742. Newton expone en este libro su segunda concepción del análisis introduciendo en sus métodos infinitesimales el concepto de fluxión.
En su prefacio, Newton comenta la decisión de Mercator de aplicar al álgebra la «doctrina de las fracciones decimales», porque, dice, «esta aplicación abre el camino para llegar a descubrimientos más importantes y más difíciles». Después habla del papel de las sucesiones infinitas en el nuevo análisis y de las operaciones que se pueden efectuar con esas sucesiones. La primera parte de la obra se refiere justamente a la reducción de «términos complicados» mediante división y extracción de raíces con el fin de obtener sucesiones infinitas. Newton introduce su nueva concepción de fluxiones y fluentes al abordar dos problemas; el primero consiste en encontrar la velocidad del movimiento en un tiempo dado cualquiera, dada la longitud del espacio descrito. El segundo problema es la inversa del primero. Disponiendo de su método general, determina los máximos y mínimos de relaciones, las tangentes a curvas (parábola, concoide de Nicomedes, espirales, cuadratrices), el radio de curvatura, los puntos de inflexión y el cambio de concavidad de las curvas, su área y su longitud. Newton incluye también en esta obra tablas de curvas clasificadas según diez órdenes y once formas, que comprenden también la abscisa y la ordenada para cada una de las formas y el área de cada una de ellas (tabla de integrales). También incluye nuevas clases de ordenadas, una fórmula de aproximación para la solución de las ecuaciones que llevan su nombre, y el paralelogramo de Newton, útil para el desarrollo de series infinitas y para el trazado de curvas. Cuando Newton aborda el problema de «trazar las tangentes de las curvas», expone nueve maneras diferentes de hacerlo, teniendo en cuenta las «diferentes relaciones de las curvas con las líneas rectas». En la tercera manera, recurre a las «coordenadas bipolares», poco utilizadas actualmente. Pero en la exposición de la séptima manera encontramos por primera vez la utilización de las coordenadas polares. Newton expone en el artículo XX de su Método un procedimiento para la determinación aproximada de las raíces de una ecuación. Lo presenta como un método para efectuar «la reducción de las ecuaciones afectadas», para reducirlas a sucesión infinita. Este método fue modificado ligeramente por Joseph Raphson en 1690, y después por Thomas Simpson en 1740, para dar la forma actual.

De Analysi

Compuesto en 1669 a partir de conceptos elaborados en 1665-1666, el De analysi no fue publicado hasta 1711, aunque era conocido entre los próximos a Newton porque circulaba en forma manuscrita desde 1669. Al comienzo de sus investigaciones sobre las propiedades de las líneas curvas, Newton se apoya principalmente en el método de las tangentes de Descartes, aunque también recurre a la regla de Hudde para la determinación de los extremos. Newton se dispone desde el principio a elaborar algoritmos que le permitan simplificar la resolución de los problemas de tangentes, cuadratura y rectificación de curvas. El De analysi contiene los fundamentos de su método de las series infinitas que se manipulan mediante operaciones de división y extracción de raíces. Toma también de la física ciertos conceptos que se revelan útiles para sus métodos infinitesimales y para traducir su concepción cinemática de las curvas. En 1666 todavía no ha desarrollado completamente su notación de las fluxiones, pero en 1669, en el momento de la redacción de su De analysi, utiliza todavía la notación más o menos convencional y reserva para una ulterior publicación sus fluxiones como concepto operacional a nivel algorítmico. Utiliza la relación de reciprocidad entre la diferenciación y la integración y aplica su método para obtener el área comprendida bajo diversas curvas y para resolver numerosos problemas que requieren sumaciones. Enuncia y utiliza también la regla moderna: la integral indefinida de una suma de funciones es la suma de las integrales de cada una de las funciones. Se sirve también de las series infinitas para integrar curvas utilizando la regla de integración término a término. Añadamos que, con motivo de ciertas observaciones a propósito de la utilización de las series infinitas, Newton parece estar preocupado por el concepto de convergencia, pero no aporta ninguna solución a este problema.

De quadratura curvarum

La tercera concepción de Newton a propósito del nuevo análisis aparece en su De quadratura curvarum, escrita en 1676 pero no publicada hasta 1704, como apéndice a su Opticks. Newton se propone esta vez fundamentar su cálculo sobre bases geométricas sólidas, por lo que hace hincapié en la concepción cinemática de las curvas. Más adelante, Newton describe la distinción entre el uso de elementos discontinuos y las nuevas consideraciones cinemáticas con referencia a las fluxiones, abandonando así las cantidades infinitamente pequeñas en beneficio de una ampliación del concepto de fluxión que requiere la comparación de velocidades instantáneas en la razón última de los pequeños crecimientos. La tercera concepción de Newton se presenta en forma operacional mediante el método de las «primeras y últimas razones». Sin embargo, el mismo Newton es consciente de las precauciones que hay que tomar para aplicar su método de las «primeras Y últimas razones» a la determinación de la fluxión, porque añade en su introducción: "Los menores errores en matemáticas no deben ser despreciados."

Philosophiae naturalis principia mathematica

La primera información publicada acerca de su cálculo diferencial e integral aparece indirectamente en sus famosos Philosophiae naturalis principia mathematica, de 1687. Aunque en esta obra predomina la forma sintética y, por otra parte, Newton utiliza métodos geométricos en sus demostraciones, se encuentran sin embargo algunos pasajes analíticos, en particular la sección primera del libro I, titulada: «El método de las primeras y últimas razones». Entre los numerosos pasajes que explican su método de «las primeras y últimas razones», el que sigue, que proviene de un escolio que acompaña al lema XI en la segunda edición traducida por Andrew Motte, parece ser el más claro: "Las razones últimas en las que las cantidades desaparecen no son realmente las razones de cantidades últimas, sino los límites hacia los cuales se aproximan constantemente las razones de cantidades, que decrecen sin límite, y hacia los cuales pueden aproximarse tanto como cualquier diferencia dada, pero sin sobrepasarlos o alcanzarlos antes de que las cantidades disminuyan indefinidamente." Es interesante observar la explicación de Newton relativa a sus razones últimas, porque nos permite ver mejor la semejanza entre su última concepción y nuestra derivada actual. En particular, la idea intuitiva de esta razón última se encuentra en el problema de las tangentes. Newton considera una tangente como la posición límite de una secante. Newton introduce la noción de «diferencial», designada por la palabra «momento», el cual es producido por una cantidad variable llamada «genita». Este constituye una aproximación al concepto de función, y se presenta en el libro II, sección 11 de los Principia. Parece que estas cantidades llamadas «genita» son variables e indeterminadas, y que aumentan o decrecen mediante un movimiento continuo, mientras que sus momentos son crecimientos temporales que pueden generar partículas finitas. En aritmética, las «genita» son generadas o producidas por la multiplicación, la división o la extracción de raíces de cualquier término, mientras que la búsqueda del contenido de los lados o de los extremos y medias proporcionales constituye «genita». Así, las «genita» pueden ser productos, cocientes, raíces, rectángulos, cuadrados, cubos, etc. Sin embargo, Newton no llega a esclarecer el concepto de momento lo suficiente como para que se pueda hablar aquí de una concepción neta de la diferencial de una función. En el prefacio de sus Principia, Newton ofrece la definición de conceptos de mecánica tales como inercia, momento y fuerza, y después enuncia las tres célebres leyes del movimiento que son generalizaciones de las concepciones de Galileo sobre el movimiento.
A continuación, Newton asocia las leyes astronómicas de Kepler y la ley centrípeta de Huygens en el movimiento circular para establecer el principio de su célebre ley de la gravitación universal.
Este libro I, titulado: El movimiento de los cuerpos, trata abundantemente de mecánica y comprende también un estudio y una descripción orgánica de las cónicas. El libro II está consagrado al movimiento de los cuerpos en medios que ofrecen una resistencia como el aire y los líquidos. Es la verdadera introducción a la ciencia del movimiento de los fluidos. Se puede encontrar en él, entre otras cosas, un estudio de la forma de los cuerpos para ofrecer menos resistencia, una sección sobre la teoría de las ondas, una fórmula para la velocidad del sonido en el aire y un estudio de las ondas en el agua. El libro III, titulado Sobre el sistema del mundo, contiene las aplicaciones al sistema solar de la teoría general desarrollada en el libro I. Newton demostró cómo calcular la masa del Sol en términos de la masa de la Tierra y de los otros planetas que tienen un satélite. Calculó la masa volúmica media de la Tierra y demostró que tenía la forma de un esferoide aplanado, y que, por consiguiente, la atracción no era constante en su superficie. Hizo también un estudio de la precesión de los equinoccios y de las mareas, explicó que la Luna constituía la causa principal de este fenómeno y que el Sol también ejercía en él una influencia. Dedicó también un estudio detallado al movimiento de la Luna, porque debía servir para mejorar la determinación de las longitudes.

Más científicos. Newton precisa sus concepciones, sin introducir sus notaciones, al comienzo de los Principia en lo que llama método de «las primeras y últimas razones».

Biografía de Gottfried Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz nació en Leipzig en 1646.

Dos años antes de que se firmara la Paz de Westfalia, que puso fin a la Guerra de los Treinta Años. El hecho de quedarse huérfano muy pronto no le impidió adquirir una buena formación, lo que le permitió entrar en la universidad de Leipzig con apenas quince años, donde se familiarizó con el pensamiento aristotélico, platónico y escolástico, así como con la filosofía de Descartes. A los veinte años se doctoró en Derecho en la universidad de Altdorf, tras ver rechazado su examen de doctorado en Leipzig a causa de su juventud. Leibniz declinó la oferta de dedicarse a la enseñanza en la universidad y orientó su vida a la carrera política y diplomática. Comisionado por el príncipe elector de Maguncia, Von Boineburg, Leibniz fue a París con el objetivo de convencer al rey Luis XIV de que dejara de amenazar a los Países Bajos y Alemania y dirigiera sus afanes expansionistas hacia el mundo no cristiano, Egipto en concreto. Leibniz no tuvo éxito en esta misión, pero durante su residencia en Francia conoció los trabajos matemáticos de Pascal, estudio a Descartes y leyó el manuscrito de la Ética de Spinoza, a quien conocería más tarde en Holanda. En París, en 1676, Leibniz inventó el cálculo diferencial, que Newton había desarrollado poco antes, aunque de forma distinta y menos perfecta, sin que Leibniz tuviera conocimiento de ello. El año 1676 fue nombrado bibliotecario y consejero de la corte de Hannover, y en esta ciudad pasó el resto de su vida, con las únicas interrupciones de sus viajes, que le llevaron a sitios como Berlín, Viena y Roma, entre otros. Poco antes de su muerte, ocurrida el año 1716, Leibniz perdió el favor de los príncipes electores; cayó en desgracia y murió solo y desencantado, aunque no dejó de escribir hasta el último día de su vida.
Leibniz ha dejado una amplia e interesante correspondencia, así como innumerables opúsculos y pequeños tratados, entre los cuales merecen destacarse:
• Nuevo sistema de la naturaleza, publicado el año 1695.

• Monadología y Principios de la naturaleza y de la gracia, escritos hacia el final de su vida.

• Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano, obra publicada después de su muerte, en la que analiza y critica el Ensayo de Locke.

• Teodicea, sobre la bondad de Dios, la libertad del ser humano y el origen del mal.
La Monadología fue escrita en 1714, dos años antes de la muerte de Leibniz, pero no fue publicada hasta el 1721 en versión latina y el 1840 en el francés original. Es la obra más completa y madura de Leibniz, en la que éste trata de explicar la organización del universo desde el punto de vista mecánico y metafísico. Aquí expone Leibniz su noción de “sustancia”, distinta de la de Descartes, su distinción entre verdades de hecho y verdades de razón, la concepción de Dios como mónada suprema, la idea de la armonía preestablecida, y todos los demás conceptos que constituyen el núcleo de su pensamiento.

Biografía de Newton